\section{圆周运动和角速度}\label{sec:01.09}

现在来讨论一种最简单的曲线运动——圆周运动，即轨迹是
个圆。如果选择圆心作为坐标原点，质点的位置就可用位置矢量
$\vec{r}$与某一选定的方向（例如$X$轴）之间的夹角$\varphi$（图\ref{fig:01.17}）来描述，因
为$\varphi$确定之后，质点的位置就完全确定了。因而可用角$\varphi$与$t$的
关系$\varphi\left(t\right)$来代替函数$\vec{r}\left(t\right)$。

我们知道，对于直线运动，用一个坐标$x\left(t\right)$就可以描写。同
\clearpage
\noindent 样，对于圆周运动，也是只要一个坐标$\varphi\left(t\right)$来描写就够了。在这
\begin{wrapfigure}[9]{r}{13em}
  \centering \small
  \includegraphics{figure/fig01.17}
  \caption{圆周运动}
  \label{fig:01.17}
\end{wrapfigure}
个意义上，两者是一样的。而一般的平面曲线运动，需要两个坐
标来描写；一般的空间曲线运动，则需要三个坐标来描写。我
们按描写运动所需坐标的个数，把运动分为一维运动、二维运动、
三维运动等等。直线运动和圆周运动都是一维运动。

按照\ref{sec:01.07}~节的讨论，速度的
方向为轨迹上相应点的切线方向，圆的切线总与半径相垂直，所
以圆周运动的速度$\vec{v}$总与位置矢量$\vec{r}$相垂直。现在来求速度的

\begin{wrapfigure}[8]{l}{13em}
  \vspace{-0.5em}
  \centering \small
  \includegraphics{figure/fig01.18}
  \caption{圆周运动的速率}
  \label{fig:01.18}
\end{wrapfigure}
\noindent 大小。由图\ref{fig:01.18}，在$t$时刻，质点位于$\varphi\left(t\right)$；当$t+\Delta t$时，位于
$\varphi\left(t+\Delta t\right)$，所以在$\Delta t$间隔中质点
运动的路程为：
\setlength{\mathindent}{2em}
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \Delta s & =r|\varphi\left(t+\Delta t\right)-\varphi\left(t\right)| \\
             & =r|\Delta \varphi|
  \end{aligned}
\end{equation*}
将此式代入式\eqref{eqn:01.07.05}，就得到圆周运动的速率
\setlength{\mathindent}{6em}
\begin{equation}\label{eqn:01.09.01}
  v=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{r|\Delta \varphi|}{\Delta t}=r \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{|\Delta \varphi|}{\Delta t}
\end{equation}
现在定义一个新的量，它是
\begin{equation}\label{eqn:01.09.02}
  \omega=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{|\Delta \varphi|}{\Delta t}
\end{equation}
这种形式的公式我们已经多次遇到了。$|\Delta\varphi|/\Delta t$是在$t$到$t+\Delta t$间
隔中，质点的单位时间的角位置的平均变化。当取$\Delta t\rightarrow 0$的极限
时，这个平均变化率过渡为瞬时变化率。因此，我们称$\omega$为角速
度，确切地说，应称为角速率。它的单位是弧度/秒。利用角速率$\varphi$，式\eqref{eqn:01.09.01}可以写成
\begin{equation}\label{eqn:01.09.03}
  v=r\omega
\end{equation}

速度本质上是一个矢量，有大小和方向两方面。上述角速度
定义只反映了大小，为反映方向，我们需作些补充。

现在定义一个矢量$\vec{\omega}$，它的大小等于式\eqref{eqn:01.09.01}中的$\omega$，$ \vec{\omega}$的
方向按图\ref{fig:01.19}所示的方法给定。
\begin{figure}[!h]
  \includegraphics{figure/fig01.19}
  \caption{角速度的方向}
  \label{fig:01.19}
\end{figure}

\noindent 当我们从$ \vec{\omega}$指向的方向观察质点的运动时，质点总是沿逆时钟方
向转动。这个规定$ \vec{\omega}$的方向的方法也可以用一个正扣螺旋来说
明，当螺钉按质点运动方向旋转时，螺钉的运动方向就是$ \vec{\omega}$的方
向。

这样定义的$ \vec{\omega}$，称为角速度矢量。利用这个矢量。可以把质
点的速度矢量$\vec{v}$表示成
\begin{equation}\label{eqn:01.09.04}
  \vec{v}= \vec{\omega}\times \vec{r}
\end{equation}
由图\ref{fig:01.20}，因为$ \vec{\omega}$与$\vec{r}$垂直，所以$| \vec{\omega}\times\vec{r}|=\omega r=v$，
而且$ \vec{\omega}\times\vec{r}$的方向与$\vec{v}$的方向一致。故式\eqref{eqn:01.09.04}
比\eqref{eqn:01.09.03}更具有一般性，它不仅表达了三者的大小关系，也反映了
三者间的方向关系。不仅如此，若取通过圆心且垂直于圆所在平面
的直线上任一点为原点(图\ref{fig:01.21})来描写圆周运动，式\eqref{eqn:01.09.04}仍成立，但式\eqref{eqn:01.09.03}就不对
\clearpage
\noindent 了。读者可以自己证明。

\begin{figure}[!h]
  \small
  \begin{minipage}[b]{15em}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig01.20}
    \vspace{4em}
    \caption{圆周运动中$ \vec{\omega}$与$\vec{v}$的关系}
    \label{fig:01.20}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{13em}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig01.21}
    \caption{原点不在圆心的情况}
    \label{fig:01.21}
  \end{minipage}
\end{figure}

